조건부 확률 기초 정리

1.확률

$ P(A) $ : A 가 일어날 확률

$ P(AB) $ : A와 B가 동시에 일어날 확률 - 결합확률

$ P(A | B) $ : B가 일어났다 치고, A가 일어날 확률 - 조건부확률

 

예:

당연히 전 세계 인구중에 배가 아픈 사람 수와 위염이 있는 사람 수를 알 턱이 없다(사전확률)

>> 배가 아플 확률을 P(배)  라고 하자. 위염이 있을 확률은 P(위염) 이다.

 

하지만 우리가 궁금한 건 배가 아프고 위염이 있는 사람이 몇 명인지가 아니고,

위염이 있고 배가 아플 확률은 P(배 위염) 이다.

 

배가 아프다고 병원에 온 사람이 위염이 있는 건 몇 명인지 이다.

>> 배가 아프다 치고 위염이 있을 확률은 P(위염 | 배) 다.

 

 

그리고 배도 아픈데다가 위염도 있을 확률보다,

배가 아프다치고 병원에 왔더니 위염을 확률이 더 크다.

왜냐하면, 우리는 모든 인구가 아닌, 배가 아픈 사람들 중에서 위염이 있을 확률을 찾기 때문에.

--> Normalize 의 개념이 들어간다.

 

$P(A | B)  = \frac{P(AB}{P(B)} $ : B가 일어났다 치고(분모로 들어가면서 normalize), A와 B가 동시에 일어날 확률

이것이 베이즈 정리의 기초.

 

2. 주변확률분포(Marginalize)

		X
Y		1	2	3
	1	0.2	0.3	0.1
	2	0.1	0.2	0.1

P(X=1, Y=1) : X가 1이고, Y가 1일 확률 (여기에서는 0.2)

P(X=1 | Y=1) : Y가 1이라 치고, X가 1일 확률

당연히 두 확률은 다르다.

 

P(X=1 | Y=1) 를 구하려면, 즉 Y가 1이라 치려면, P(Y=1) 을 알아야 한다.

$ P(Y=1) = \sum_{X} P(X=x, Y=y) $ , Y가 1인 경우의 모든 확률을 더해주면 된다. 

P(Y=1) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6

P(Y=2) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4

 

그러니 P(X=1 | Y=1) =  P(X=1, Y=1) /  P(Y=1)

0.2 / 0.6 = 1/3 이 되겠다.

 

그림으로 보이면